56.误解 (第2/2页)

Tn−n•3n+1
　　
　　bn
　　
　　的值．
　　
　　冷芊熠刚上课就看着鹿晗。鹿晗好像是故意躲避冷芊熠的目光。
　　
　　“有哪位同学，上黑板来解答一下。”莫老师问道。
　　
　　“×××，你来！”莫老师说道。
　　
　　×××做了大半天都没有做出来。
　　
　　“你先下去吧，我来讲解一下。”莫老师说道。
　　
　　“我们先看解：（Ⅰ）由已知得Sn＝
　　
　　nan+na
　　
　　2
　　
　　，
　　
　　当n=1时，
　　
　　S1=a1则2a1=a1+a，
　　
　　得a1=a．
　　
　　当n=3时，S3=a1+a2+a3
　　
　　则2（a1+a2+a3）=3（a3+a）
　　
　　∴a3=a+4
　　
　　（Ⅱ）由a1=a、a2=a+2、a3=a+4，
　　
　　猜想：an=a+2（n-1）
　　
　　证明：
　　
　　①当n=1时，
　　
　　左边=a1=a，
　　
　　右边=a+2（1-1）=a，
　　
　　则当n=1时，等式成立，
　　
　　左边=a2=a+2=右边，
　　
　　故当n=2时，等式成立．
　　
　　②假设n=K时，等式成立，
　　
　　即aK=a+2（K-1）则当n=K+1时，
　　
　　aK+1=SK+1-SK=
　　
　　aK+1+a
　　
　　2
　　
　　(k+1)−
　　
　　ak+a
　　
　　2
　　
　　k
　　
　　∴（K-1）aK+1=kak-a
　　
　　即aK+1=
　　
　　K
　　
　　K−1
　　
　　ak-
　　
　　a
　　
　　K−1
　　
　　将aK=a+2（K-1）代入得
　　
　　aK+1=a+2[（k+1）-1]，
　　
　　∴当n=K+1时，等式也成立．由①②可知，对任何正整数n，
　　
　　等式an=a+2（n-1）都成立．
　　
　　（Ⅲ）由（Ⅱ）可知an=a+2（n-1）=2n，bn=3n；an•bn=2n3n；
　　
　　Tn=2•3+4•32+8•33+…+（2n-2）•3n-1+2n•3n．①
　　
　　2Tn=2•22+4•23+…+4（n-1）•2n+4n•3n+1．②
　　
　　②-①得Tn＝
　　
　　3
　　
　　2
　　
　　−
　　
　　3
　　
　　2
　　
　　•3n+n•3n+1，
　　
　　lim
　　
　　n→∞
　　
　　Tn−n•3n+1
　　
　　bn
　　
　　＝
　　
　　lim
　　
　　n→∞
　　
　　3
　　
　　2
　　
　　−
　　
　　3
　　
　　2
　　
　　•3n+n•3n+1−n•3n+1
　　
　　3n
　　
　　＝−
　　
　　32
　　
　　“老师，您讲错了吧，少了一个什么吧。”冷芊熠站起来，说道。
　　
　　“嗯？有么？我看看。哦，不好意思。”说完，莫老师便改了。
　　
　　---------------------------------------------------------------本章完--------------------------------------------------------------------------------------